高考四川卷数学真题解析(2011 四川高考数学卷的第21题)

科普 2024年03月02日 14:55 302 天君

（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。　（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1　焦点坐标为　（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k?x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，　整理，得　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0　根据韦达定理，得　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，　所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①　将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得　x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②　由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)　所以结论成立。　（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。　由C，P，H共线，得　(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4　解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)　由D，Q，G共线，同理可得　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)　所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。

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